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No livro The Science Fiction Encyclopedia, no verbete dedicado aos paradoxos do tempo, Malcolm J. Edwards diz que a forma mais simples de paradoxo é o que ele chamou de “closed loops”. Os loops são as repetições do tempo – às vezes traduzidos como “laços temporais”, mas geralmente o termo utilizado é em inglês mesmo. É o que acontece, por exemplo, no filme Feitiço do Tempo, com Bill Murray repetindo o mesmo dia inúmeras vezes.
No caso dos closed loops, utilizados na ficção científica, a situação é um pouco diferente. É o que o escritor John Gribbin chamou de “arcos fechados no tempo”, no livro Tempo: O Profundo Mistério do Universo (Timewarps, 1979. Francisco Alves Editora, 1981). O mesmo Malcolm J. Edwards dá um exemplo de uma situação como essa: uma pessoa encontra planos para a construção de uma máquina do tempo; ele a constrói, viaja para o futuro, faz uma pesquisa, anotas os planos para a construção da máquina e os manda de volta ao passado para ele mesmo. Assim, uma coisa é criada sem que tenha uma origem específica. Não se pode determinar causa e efeito.
Gribbin diz que “a solução mais simples do ‘paradoxo’ é a ideia de que os efeitos das atividades do viajante do tempo já se encontram enraizadas na estrutura tempo-espaço – de que os efeitos seguem as causas no sentido de tempo do viajante, produzindo um modelo fixo de acontecimentos históricos”. Mas essa solução também cria um enigma de outro tipo, que é exatamente o arco fechado no tempo, em que os eventos causam a si mesmos. “A ausência de causalidade”, escreve Gribbin, “ou a demasia, em termos filosóficos, constitui tão grande problema quanto a violação da causalidade”.
Malcolm J. Edwards cita o conto As Never Was (1944), de P. Schuyler Miller, como um exemplo de uma história com um loop fechado, na qual um estranho artefato é encontrado, no caso um garfo feito de um material que ninguém consegue identificar e que é exposto num museu, e eventualmente é enviado para o passado para ser encontrado.
Murray Leinster escreveu o conto The Gadget Has a Ghost (1952), no qual a descoberta de uma mensagem antiga, com a letra do personagem central, encontrada num livro antigo, dá início a uma cadeia de eventos que no fim levam o protagonista a escrever a mensagem. Assim como o conto de Mack Reynolds, Compounded Interests (1956), no qual um homem viaja para o passado para fazer um investimento de algumas poucas moedas que, ao longo dos séculos, vai gerar a fortuna que ele necessita para construir a máquina do tempo que possibilita a viagem ao passado.

Para Edwards, a coisa começa a se complicar com duas histórias de Robert A. Heinlein. “A forma exemplar de história com paradoxo do tempo”, ele escreveu, “é aquela que pega o closed loop e o complica”. Nesse sentido, os dois contos de Heinlein são clássicos. Estamos falando de Pelos Cordões de Suas Botas (By His Bootstraps, 1941) e All You Zombies (1959). O primeiro conto foi publicado originalmente na revista Astounding Science Fiction, com o pseudônimo Anson MacDonald, e no Brasil surgiu na coletânea  A Ameaça da Terra. O segundo foi publicado originalmente em The Magazine of Fantasy and Science Fiction.
Pelos Cordões de Suas Botas já inicia em ritmo alucinante, quase como uma alucinação, com o personagem Bob Wilson num quarto escrevendo uma tese sobre o tempo, quando uma abertura circular surge do nada, no ar, e de dentro dela sai um homem que se diz chamar Joe, querendo que Bob o acompanhe. Mas, em seguida, outro homem sai de dentro da abertura, e esse não quer que Bob atravesse, resultando em uma briga envolvendo os três. Bob acaba atravessando e se vê num aposento desconhecido onde está um homem que se chama Diktor, e que lhe informa que ele se encontra 30 mil anos no futuro.
A partir daí, a história apresenta uma série de idas e vindas no tempo, com os personagens retornando ao quarto de Bob, que percebe que todos os personagens são ele mesmo, em diferentes épocas do tempo. E também percebe que, em sua versão futura como Diktor, deverá retornar no tempo para dar início à sucessão de encontros no tempo que tornam possível sua ação no futuro distante.
É uma história angustiante, em especial ao não apresentar soluções, mas apenas uma série aparentemente interminável de eventos, sem que seja possível definir causa e efeito.
Em All You Zombies, Heinlein vai ainda mais longe, entrando num terreno pouco explorado pela ficção científica até então, envolvendo relacionamentos sexuais e uma operação de troca de sexo. A complicada trama foi maravilhosamente levada ao cinema com O Predestinado (Predestination, 2014), certamente um dos melhores filmes de ficção científica do século 21.

Outro exemplo bem conhecido desse tipo de situação temporal em arco fechado de eventos é a série de filmes iniciada com O Planeta dos Macacos (Planet of the Apes, 1968), dirigido por Franklin J. Schaffner. O primeiro filme foi baseado no livro com o mesmo título, de Pierre Boulle; os demais funcionam no sentido de fechar a história em si mesma.

Charlton Heston, enfrentando uma anomalia no espaço-tempo, em O Planeta dos Macacos (Twentieth Century-Fox/ APJAC Productions).

Para quem ainda não sabe, a ordem dos eventos é a seguinte: astronautas partem da Terra em viagem, atravessam uma irregularidade no espaço-tempo, avançam dois mil anos e chegam à Terra do futuro, agora dominada por uma raça de macacos inteligentes e falantes. No início eles não sabem o que ocorreu, mas ao final, quando Charlton Heston, o astronauta remanescente encontra a Estátua da Liberdade destruída na praia, percebe que a Terra passou por uma guerra nuclear devastadora, abrindo espaço para a civilização símia.

Charlton Heston e sua companheira muda encontram o que restou da sociedade humana.

No segundo filme, De Volta ao Planeta dos Macacos (Beneath the Planet of the Apes, 1969), dirigido por Ted Post, o astronauta (Heston) continua sua jornada atravessando as Terras Proibidas, até encontrar ruinas da antiga civilização, agora habitadas por humanos mutantes com poderes mentais, que também adoram uma bomba nuclear como se fosse seu deus, e que é tida como a “bomba do juízo final”, capaz de, sozinha, exterminar o planeta novamente.

No terceiro filme, Fuga do Planeta dos Macacos (Escape From the Planet of the Apes, 1971), dirigido por Don Taylor, o arco temporal começa a se fechar. Os macacos do futuro escapam da Terra quando ela sofria a segunda devastação nuclear com a bomba do juízo final. Eles atravessam a mesma irregularidade temporal, dessa vez indo para o passado e surgindo na Terra de onde os astronautas originalmente saíram. Zira, a macaca, está grávida e, apesar da perseguição que os humanos dedicam ao casal de macacos sobreviventes, ela tem seu filho, César, que é cuidado por um humano.

Os macacos do  chegam ao passado - a forçada de barra que permite fechar o loop temporal, em Fuga do Planeta dos Macacos (Twentieth Century-Fox/ APJAC Productions).

No quarto filme, A Conquista do Planeta dos Macacos (Conquest of the Planet of the Apes, 1972), dirigido por J. Lee Thompson, um vírus mata todos os cães e gatos da Terra, e os humanos passam a adotar macacos como animais de estimação e, posteriormente, como servos domésticos, verdadeiros escravos. César organiza uma revolta dos macacos e inicia a conquista do planeta, o que irá fazer a história regressar ao ponto de origem, com a Terra governada por macacos inteligentes e falantes.

César, liderando a rebelião para conquista o planeta, em A Conquista do Planeta dos Macacos (Twentieth Century-Fox/ APJAC Productions).

O quinto e último filme, e também o pior deles, A Batalha no Planeta dos Macacos (Battle for the Planet of the Apes, 1973), dirigido por J. Lee Thompson, mostra César governando uma cidade pós-holocausto, com humanos mutantes e macacos convivendo, apesar dos problemas com os militaristas gorilas. É o início do período em que os macacos inverteriam as coisas e passariam a utilizar os humanos como escravos.

César lidera uma reunião de macacos e gorilas em A Batalha no Planeta dos Macacos (Twentieth Century-Fox/ APJAC Productions).

O primeiro filme é um clássico da ficção científica de sua época, e as sequências formam um excelente exemplo do tipo de histórias com arcos temporais fechados, ainda que existam muitas falhas nos enredos, como apresentar os macacos como tendo a capacidade de realizar uma viagem espacial, quando nem aviões eles tinham; ou o fato de os macacos terem desenvolvido a habilidade da fala apenas poucos anos após César realizar sua rebelião.

Em seu livro sobre o tempo, John Gribbin cita um conto que também é exemplar para mostrar como funciona esse tipo de histórias, e que se tornou bastante conhecido, Trata-se de Eis o Homem (Behold the Man, 1969. Editora Saída de Emergência), de Michael Moorcock, publicado em Portugal e ainda inédito no Brasil.
A história inicia com a chegada de Karl Glogauer no ano 28, vindo em sua máquina do tempo do ano 1970, com o objetivo de encontrar Jesus. E não é uma chegada tranquila, uma vez que a máquina do tempo quebra e ele fica preso no passado. Ao desmaiar ao se afastar de sua máquina, ele é encontrado por um grupo de essênios, incluindo João Batista, e é levado para sua comunidade. Lá, não apenas é tratado, mas é visto como alguém especial, uma vez que os homens testemunharam sua chegada “milagrosa” em sua máquina.
Karl encontra Maria e José em Nazaré, mas eles estão longe de serem os personagens históricos que conhecemos, apesar de terem um filho chamado Jesus, porém com problemas mentais graves. Tremendamente desapontado, Karl começa ele mesmo a unir seguidores à sua volta, repetindo as palavras atribuídas a Jesus que conhecia da Bíblia. Em suma, Karl assume o papel de Jesus, inclusive atribuindo a si mesmo o nome e pedindo a Judas que o traísse, para que os romanos o matassem na cruz.

Em 1982, o filme Cavaleiro do Tempo (Timerider: The Adventure of Lyle Swann), dirigido por William Dear, também apresentou uma situação semelhante. O roteiro foi escrito pelo próprio diretor e por Michael Nesmith, mais conhecido como o guitarrista da banda The Monkees, nos anos 1960, depois fazendo uma carreira no cinema, inclusive produzindo o excelente Repo Man (1984).
Fred Ward interpreta o viajante do tempo, não por vontade própria. Ele é um corredor de moto que faz uma travessia pelo deserto e passa com sua moto bem em frente à máquina do tempo que está sendo testada no local. Ele vai parar em 1877, onde enfrenta problemas com um bando de criminosos que deseja para si o estranho aparelho que ele dirige.
Entre outras coisas, ele é ajudado por uma mulher (Belinda Bauer), com pensamentos bastante avançados para sua época, que o seduz e fica grávida. Ao final, ele percebe que o filho deles será um ancestral dele mesmo. Não é um filme sensacional, mas tem seus momentos.